斯密特正交化公式

我们先聊聊为啥要搞这个东西。你想想我们最熟悉的坐标系，x轴、y轴、z轴，它们有什么特点？互相垂直，而且每个轴的单位长度都是1。这种又垂直、长度又为1的向量组合用起来最方便，计算简单，互不干扰。但现实世界里，我们拿到的一组向量通常都不是这样的，它们可能是歪歪扭扭、互相倾斜的。斯密特正交化，说白了，就是把一组歪歪扭扭的向量，变成一组互相垂直的向量。它就像一个整理工具，把一堆乱七八糟的木棍，重新摆放成互相垂直的结构。

这个过程的核心思想其实就一句话：挨个处理，每次拿出一个新向量，然后把它身上“不垂直”的成分都去掉。啥叫“不垂直”的成分？就是它在其他已经处理好的、垂直的向量上的投影。你把它在别人身上的影子都减掉，剩下的那部分，自然就跟别人垂直了。

我们一步一步来。假设你手里有三个线性无关的向量：v1, v2, v3。我们的目标是得到三个互相垂直的向量 u1, u2, u3。

第一步：处理第一个向量 v1

这一步最简单，简直是白送的。因为目前还没有其他向量需要它去垂直，所以它自己就是标准。我们直接把第一个正交基向量 u1 定义为 v1。

u1 = v1

没错，就这么简单。我们有了第一个“标准”向量，后面的向量都要向它看齐。

第二步：处理第二个向量 v2

现在我们要得到第二个正交向量 u2。u2 必须和 u1 垂直。怎么做到？我们看 v2。v2 这个向量，可以想象成两部分组成的：一部分是它沿着 u1 方向的分量，另一部分是它与 u1 垂直的分量。我们要的，就是那个垂直的分量。

所以，思路很简单：从 v2 中，减掉它在 u1 上的投影。剩下的就是我们要的 u2。

这个“投影”怎么算？线性代数里有个公式，向量 v2 在 u1 上的投影是：

proj_u1(v2) = ( (v2 · u1) / (u1 · u1) ) u1

这个公式看着吓人，但拆开看就那么几件事。

v2 · u1 是两个向量的点积，一个标量，它衡量了 v2 在 u1 方向上的“程度”。

u1 · u1 是 u1 自己和自己的点积，也就是 u1 长度的平方。

前面那一坨分数 (v2 · u1) / (u1 · u1) 最终只是一个数字，一个系数。它告诉我们，要沿着 u1 方向走多远，才能在“影子”的意义上代表 v2。

然后用这个数字去乘以向量 u1，就得到了那个投影向量。

现在我们有了投影，直接从 v2 里把它减掉：

u2 = v2 – proj_u1(v2)

u2 = v2 – ( (v2 · u1) / (u1 · u1) ) u1

这样得到的 u2，我敢保证，它一定和 u1 垂直。为什么？因为我们把 v2 身上所有“像”u1 的成分都剔除掉了，剩下的自然就跟 u1 没关系了，也就是垂直了。不信你可以算一下 u1 · u2，结果一定是0。

第三步：处理第三个向量 v3

现在我们手里有两个互相垂直的向量了：u1 和 u2。轮到 v3 了。

思路和第二步一模一样。我们要让新的向量 u3 同时与 u1 和 u2 垂直。怎么办？很简单，把 v3 身上“像”u1 的成分和“像”u2 的成分都减掉就行了。

也就是，我们要从 v3 中减去它在 u1 上的投影，再减去它在 u2 上的投影。

v3 在 u1 上的投影：proj_u1(v3) = ( (v3 · u1) / (u1 · u1) ) u1

v3 在 u2 上的投影：proj_u2(v3) = ( (v3 · u2) / (u2 · u2) ) u2

然后，把它们都从 v3 里拿走：

u3 = v3 – proj_u1(v3) – proj_u2(v3)

u3 = v3 – ( (v3 · u1) / (u1 · u1) ) u1 – ( (v3 · u2) / (u2 · u2) ) u2

这样得到的 u3，就同时和 u1、u2 垂直了。

这个过程可以一直进行下去。如果你有更多的向量 v4, v5, …，方法都是一样的：拿出新向量 vk，然后减去它在所有已经正交化的向量 u1, u2, …, u(k-1) 上的投影。

我们来上手算一个具体的例子，这样感觉更真实。

假设我们有三个三维向量：

v1 = (1, 1, 0)

v2 = (1, 2, 0)

v3 = (2, 2, 1)

这三个向量显然不是互相垂直的。我们来把它们正交化。

第一步：

u1 = v1 = (1, 1, 0)

搞定。

第二步：

我们需要计算 u2 = v2 – ( (v2 · u1) / (u1 · u1) ) u1

先算点积：

v2 · u1 = (1 1) + (2 1) + (0 0) = 3

u1 · u1 = (1 1) + (1 1) + (0 0) = 2

所以那个系数是 3 / 2。

现在代入公式：

u2 = (1, 2, 0) – (3/2) (1, 1, 0)

u2 = (1, 2, 0) – (3/2, 3/2, 0)

u2 = (1 – 3/2, 2 – 3/2, 0 – 0)

u2 = (-1/2, 1/2, 0)

我们可以验证一下 u1 和 u2 是不是垂直的：

u1 · u2 = (1 -1/2) + (1 1/2) + (0 0) = -1/2 + 1/2 + 0 = 0。

确实垂直。

第三步：

我们需要计算 u3 = v3 – ( (v3 · u1) / (u1 · u1) ) u1 – ( (v3 · u2) / (u2 · u2) ) u2

这个要算两个投影。

第一个投影（在 u1 上）：

v3 · u1 = (2 1) + (2 1) + (1 0) = 4

u1 · u1 刚才算过了，是 2。

所以第一个系数是 4 / 2 = 2。

第一个投影向量是 2 u1 = 2 (1, 1, 0) = (2, 2, 0)。

第二个投影（在 u2 上）：

v3 · u2 = (2 -1/2) + (2 1/2) + (1 0) = -1 + 1 + 0 = 0

这个结果是0，说明 v3 本身在 u2 方向上就没有分量，它已经和 u2 垂直了。这只是个巧合，但让计算变简单了。

u2 · u2 = (-1/2)^2 + (1/2)^2 + 0^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2。

所以第二个系数是 0 / (1/2) = 0。

第二个投影向量是 0 u2 = (0, 0, 0)。

现在把它们从 v3 中减掉：

u3 = v3 – (2 u1) – (0 u2)

u3 = (2, 2, 1) – (2, 2, 0) – (0, 0, 0)

u3 = (0, 0, 1)

好了，我们得到了正交化后的一组向量：

u1 = (1, 1, 0)

u2 = (-1/2, 1/2, 0)

u3 = (0, 0, 1)

你可以自己验证一下，它们两两之间的点积都是0。

最后，还有一个可选步骤，叫“单位化”或“标准化”。我们得到的 u1, u2, u3 虽然互相垂直，但它们的长度不一定是1。比如 u1 的长度是 sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2)。如果我们想得到像 x,y,z 轴那样长度为1的向量，只需要把每个向量除以它自己的长度就行了。

e1 = u1 / ||u1|| = (1, 1, 0) / sqrt(2) = (1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)

e2 = u2 / ||u2|| = (-1/2, 1/2, 0) / sqrt(1/2) = (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0) // 这里有个计算技巧

e3 = u3 / ||u3|| = (0, 0, 1) / sqrt(1) = (0, 0, 1)

这组 e1, e2, e3 就是一个“标准正交基”。它既互相垂直，每个向量的长度又都是1。

有几个点需要注意。

第一，这个过程对初始向量的顺序很敏感。如果你把 v1 和 v2 的顺序换一下，最后得到的正交基会完全不同。虽然它们张成的空间是一样的，但基向量本身会变。

第二，如果在这个过程中，你算出来某个 u 是零向量，比如 u3 = (0, 0, 0)。这说明什么？说明你一开始给的向量 v1, v2, v3 是线性相关的。也就是说，v3 可以由 v1 和 v2 表示出来，它没有提供任何新的方向信息。这个过程也能帮你检测出向量组是不是线性相关的。