第一类间断点有哪几种

函数图像有时候会断开，那个断开的点，就叫间断点。这就像走路，本来走得好好的，突然前面有个坑，你得跳过去或者绕过去，没法平稳地走过去。在数学里，一个函数图像如果能一笔画完，中间不断开，就叫连续。反之，中间有断点，就是不连续。

间断点有好几种，但今天我们只聊“第一类间断点”。这是最简单、最常见的一种。所谓第一类间断点，一个关键特征是：在这个断点处，函数的左极限和右极限都存在。 也就是说，无论你从这个点的左边无限靠近它，还是从右边无限靠近它，函数的值都会趋向于一个具体的、有限的数值。 这就像你要过一条河，虽然河中间可能有个断桥，但你能清楚地看到断桥两边的桥头都在哪。

根据这两个桥头（左极限和右极限）的位置关系，第一类间断点又可以分成两种情况。

第一种叫可去间断点 (Removable Discontinuity)。

这种情况很有意思。它的特点是，在断点那里，左极限和右极限不仅都存在，而且它俩还相等。 换句话说，从左边走和从右边走，最终都指向了同一个点。那为什么还会断开呢？

通常有两个原因：

1. 这个点本身没定义：函数图像在这里留下了一个空心的“洞”。 就像一座桥，两头都修好了，也对齐了，但恰好在对接的那个点上，缺了一块木板。
2. 这个点的定义很奇怪：函数在这个点有值，但这个值偏离了左右两边共同指向的那个位置。就像桥对接的地方有块木板，但那块木板被人垫高了或者踩到水里去了，不在它应该在的位置。

举个例子，函数 f(x) = (x² - 1) / (x - 1)。

这个函数在 x = 1 的时候，分母是零，所以没有定义。这就是一个潜在的间断点。我们来算算它在 x = 1 左右的极限。通过因式分解，我们可以简化这个函数：f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (当然，前提是 x ≠ 1）。

• 当 x 从左边趋近于 1 时（比如 0.9, 0.99, 0.999…），f(x) 的值趋近于 1 + 1 = 2。
• 当 x 从右边趋近于 1 时（比如 1.1, 1.01, 1.001…），f(x) 的值也趋近于 1 + 1 = 2。

你看，左极限等于右极限，都是 2。 但是在 x = 1 这个点，函数没定义。它的图像就是一条直线 y = x + 1，但是在 x = 1 的地方有个空心的小圆圈，坐标是 (1, 2)。这个点就是可去间断点。

为什么叫“可去”呢？因为它很容易“修复”。对于上面那个例子，我们只需要补充一个定义，就说当 x = 1 时，f(1) = 2。这样一来，那个空心的洞就被填上了，函数图像就变成一条完整的直线，也就连续了。 这个过程就像把那块缺失的木板给补上，桥就完整了。

第二种叫跳跃间断点 (Jump Discontinuity)。

这种情况和可去间断点不一样。它的特点是，在断点处，左极限和右极限虽然都存在，但是它俩不相等。 这就好像桥的两头修好了，但没对齐，一边高一边低，或者左右错开了。

从图像上看，函数在一个点突然从一个值“跳”到了另一个值，中间形成了一个垂直的断崖。

举个常见的例子，符号函数 f(x) = sgn(x)。它的定义是：

当 x > 0 时，f(x) = 1

当 x < 0 时，f(x) = -1

当 x = 0 时，f(x) = 0

我们来看看 x = 0 这个点。

当 x 从左边（负数那边）趋近于 0 时，f(x) 的值一直是 -1。所以左极限是 -1。

当 x 从右边（正数那边）趋近于 0 时，f(x) 的值一直是 1。所以右极限是 1。

左极限是 -1，右极限是 1，它俩不相等。所以在 x = 0 这个点，函数图像发生了一次跳跃，从 -1 直接跳到了 1。这个点就是跳跃间断点。 这种断点是“修复”不了的，你没法通过改变或补充一个点的定义，就把这个“断崖”给填平。

再举个生活中的例子。比如出租车计费。起步价 3 公里内是 10 元。超过 3 公里后，每公里加 2 元。那么在 3 公里这个点，计费函数就是跳跃的。当你行驶到 2.999 公里时，费用还是 10 元。但只要一过 3 公里，哪怕只多了 0.001 公里，费用马上就跳到了 10 元以上。这个 3 公里的点，就是一个跳跃间断点。

总结一下，第一类间断点就是那些在断点左右两边都有明确落脚点（极限存在）的情况。如果两边的落脚点对齐了（左右极限相等），那就是可去间断点，通常是个“洞”，可以补上。如果两边的落脚点没对齐（左右极限不相等），那就是跳跃间断点，是个“断崖”，补不上。 这两种情况涵盖了所有第一类间断点的类型。